怎样求曲线x2和直线x=0、x=10、x轴围成的面积？
就是把不规则的图形分割为n个小的规则(梯形或矩形）的图形，计算n个小的规则的图形的面积，累加起来去近似整体的面积。
如果是这样的一块田地，测量人员要去测量的话，他们会怎样做呢？一般会通过一个三角形去近似。会量一个底为10，高为70左右的一个三角形，面积大概是350左右。
如果将区间[0,10]分成10个小区间，每个小区间的长度dx为1，在每个小区间[ti,tj]取点ξi（等于ti+0.5），每个dy=(ti+0.5)2，则将整个面积划分为10个长方形：
小区间求和的Σ的形式就是：
=0.52+1.52+2.52+3.52+4.52+5.52+6.52+7.52+8.52+9.52=332.5
引用极限或无穷的概念，如果上述的dx→0（n→∞），ξi取每个小区间的右端点：
有
当n→∞，上述＝1000/3
也可以用定积分的形式表示：
dx表示自变量在区间[0,10]的微分，x2dx表示整个面积的微分，符号∫是英文“sum"首字母“s”的拉长，表示面积微分的累加。
下面我们就一般情形来讨论定积分的近似计算问题。
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下式定积分存在。
我们将区间[a,b]分成n个长度相等的小区间
每个小区间的长度均为dx=(b-a)/n，每个小区间任取ξi，则有
（上限无穷分割或定积分的方法不一定能求出极限值。）
上面的定积分所计算出的都是一个特定的值（注意“定”这个字），不是一般的函数关系表达式。我们需要研究一般规律的函数关系表达式（不包含符号∫，这样就可以不是每次都用极限的方法而用代入的方法可以直接求出）。能不能找到一个关于x的面积函数，也就是曲线x2和直线x取任意值、x轴围成的面积函数，给出x的值，即可求出面积。
这样的面积函数的积分表达式可以表示为：
面积函数F(x)如何用没有∫符号的表达式表示？可以考虑的思路是，F(x)肯定与曲线函数x2有相关关系。
我们可以考虑x2曲线以外的一般情形y=f(t)，面积函数为A(x)，如下图：
关键在于找出F(x)或A(x)的一般表达式，这个表达式是积分表达式的替代，从积分表达式可以看出，与面积微分f(t)dx或f(x)dx肯定有关系，是什么关系呢？
当积分的上限为x，在此基础上，做自变量x和面积函数的微分，自变量x增加一个极小值h（dt）：
上图淡红色的阴影部分, 当 h 很小的时候几乎为小竖条, 所以可以用计算长方形面积的方法来估算该竖条的面积, 它的底从x 到x+h, 高从0 到f(x), 所以面积是 h*f(t) , 也就是:
表达式h·f(x)就是面积函数F(x)的微分，函数的微分/自变量的微分称为微商，也称为导函数或导数，用F‘(x)表示。导数的形式在一定情形比微分的形式更简洁，微分也可以由导数迂回求得，如上式可有如下推导：
由此可见，曲线函数f(x)的反导数就是面积函数F(x)，这就是微积分的基本定理。
上述黑色部分的面积可以表示为：F(x)-F(a)，这就是微积分的基本公式。
函数的导数是一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢，即“变化率”。可以用来求函数的最值、曲线在某一点的切线的斜率、变速运动的瞬时速度。
导数中引入了无穷小与极限的概念，但近似的表达式中却可以去掉无穷小与极限的符号，让表达式变得更简洁，如：
类似的
再回到下式：
x2的反导数为1/3x3，所以上述所需求出的面积为：F(10)-F(0)＝1000/3。
当然如果想求曲线x2和直线x=5、x=10、x轴围成的面积：F(10)-F(5)=1000/3－125/3=875/3=291.6。
设物体沿一直线做变速运动，在时间t时，其路程函数为s(t)，速度函数为v(t)，则在时间段[T1,T2]内，由定积分定义可知，物体经过的路程为
另一方面，S也可用路程函数s(t)的增量ΔS=S(T2)-S(T1)来表示，从而有关系式
由于S‘(t)=v(t)，即路程函数是速度函数v(t)的反导数，定积分由无限求和变成了求差。
如v(t)=t(8-t)
由(t(8-t))'=8-2t＝0，求得当t=4m时，物体的最大速度是16m/s。速度v∈[0,16]，时间[0,8]，路程S粗略估计应该小于16*8=128m。
S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t2-1/3t3
上式符号∫表示不定积分，表达式∫(t(8-t)dt表示求函数t(8-t)的反导数或不定积分。
S=4t2-1/3t3=4*82-1/3*83=85.33m
reference:
「微积分基本定理」图解普林斯顿微积分读本14
3blue1brown.com：微积分的本质，积分，导数的基本定理
3blue1brown.com：积分与微积分基本定理，积分是什么？
微积分基本定理（一）
之微积分基本定理（二）
单维彰：微积分入门
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