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函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼茨公式
端点不连续可以用牛顿莱布尼茨公式。根据查询相关公开信息，牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。端点不连续用牛顿莱布尼茨公式需满足三个条件，这三个条件都必须要求f有界。
1、f有界是Riemann可积的必要条件。
2、f在某一点的邻域内无界，这不是Riemann可积，是广义可积，或叫反常可积，这种情况下牛顿莱布尼茨公式仍然成立。
3、牛顿莱布尼茨公式都是要求原函数在端点的连续性，不是要求被积函数的连续性。
牛顿莱布尼茨公式是函数f（x）在区间a，b上连续，并且存在原函数F（x），则∫（从a到b）f（x）dx=F（b）-F（a）。其有关内容如下：
1、公式的重要性：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的核心理论之一，它建立了定积分与不定积分之间的联系，揭示了原函数的概念和性质。这个公式的重要性在于它提供了一种有效的计算方法，使得定积分的计算不再是一个复杂的问题，同时也为微积分学的发展奠定了坚实的基础。
2、公式的证明方法：牛顿-莱布尼茨公式的证明方法主要包括两种：一种是利用微积分基本定理，即通过求导数和积分来证明；另一种是利用几何方法，即通过计算曲线下面积来证明。其中，第二种方法更为直观和易于理解。
3、公式的应用：牛顿-莱布尼茨公式在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。例如，在物理学中，它可以用来计算物体的运动轨迹、振动频率等问题；在工程学中，它可以用来计算电路中的电流、电压等问题。
牛顿的有关内容
1、牛顿的贡献：牛顿是微积分学的开创者之一，他的贡献包括发明了微积分、提出了万有引力定律和三大运动定律等。其中，微积分是现代数学的重要分支之一，它为解决复杂数学问题提供了有力的工具；万有引力定律和三大运动定律则奠定了经典力学的基础。
2、牛顿的成就：牛顿的成就不仅局限于科学领域，他在其他领域也有着卓越的表现。例如，他发明了反射式望远镜，这是天文学中重要的观测工具之一；他还研究了光学现象，提出了光的粒子说和波动说等理论。
3、牛顿的影响：牛顿的影响不仅仅局限于科学领域，他的思想和理论对人类文明的发展产生了深远的影响。例如，他的万有引力定律和三大运动定律成为了现代宇宙学和天体物理学的基础；他的科学方法论也成为了科学研究的重要原则之一。
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