双钩函数最值问题-东泰百科网

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1.概念：双勾（也称对勾）函数的一般形式为f(x)=x来源:https://maiya369.com/bkjj/202412-60.html?+?a?/x(a>0).

2.奇偶性与单调性：容易得出，对勾函数是奇函数。

对勾函数的单调性可由求导的方法或直接利用定义判断得到，它有四个单调区间来源:https://maiya369.com/bkjj/202412-107.html。

在(-∞，-a]和[a，+∞)上是增函数；在[-a，0)和(0，a]上是减函数。

3.图像：①由于是奇函数，所以图像关于原点对称，再根据单调性，可以得到函数的图像。来源:https://maiya369.com/cshi/202503-167.html

②对勾函数的图像有两个顶点，它们关于原点对称，分别是A(a，2a)和B(-a，-2a)来源:https://www.maiya369.com/bkjj/202412-119.html。

③对勾函数的图像有两条渐近线，分别是y轴和直线y=x，对勾函数的图像夹在渐近线之间，形状像两个对称的“勾”。

4.用对勾函数求最值应用举例　

已知?a，b∈R+，且a+b=1，求ab+1/(ab)的最小值。来源:https://maiya369.com/xwzx/202412-64.html

由基本不等式，得ab≤[(a+b)/2]?=1/4来源:https://maiya369.com/cshi/202503-208.html

f(x)=ab+1/(ab)=x+1/x，

由对勾函数的单调性易知，f(x)在（0，1/4]上是减函数(实际上在（0，1）上都是减的），所以最小值为f(1/4)=17/4

从而?ab+1/(ab)的最小值为17/4.来源:https://maiya369.com/cshi/202503-170.html

令f'=a-b/x^2=0

x1=+(b/a)^(1/2),x2=-(b/a)^(1/2)

在x>0范围内有最小值fmin=ax1+b/x1=2(ab)^(1/2)

在x<0范围内有最大值fmax=ax2+b/x2=-2(ab)^(1/2)

初等解法

f=ax+b/x==>ax^2-fx+b=0

要使上式有意义，方程应该有实数解，这就要求判别式A>=0

A=f^2-4ab>=0

x>0时，f>0,f>=2(ab)^(1/2),可见fmin=2(ab)^(1/2),

x<0时，f<0,f<=-2(ab)^(1/2),可见fmax=-2(ab)^(1/2),

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